Question

椭圆：的左焦点为，直线与椭圆交于，两点.当的周长最大时，则的值等于______.

Answer

4

【解析】

设椭圆的右焦点为E，由椭圆的定义得△FAB的周长：AB+AF+BF=AB+(2a−AE)+(2a−BE)=4a+AB−AE−BE，利用三角形两边之和与第3边的关系即可得结果.

设椭圆的右焦点为E. 如图：

由椭圆的定义得△FAB的周长为：AB+AF+BF=AB+(2a−AE)+(2a−BE)=4a+AB−AE−BE；

∵AE+BEAB；

∴AB−AE−BE0，当AB过点E时取等号；

∴AB+AF+BF=4a+AB−AE−BE4a；

即直线x=m过椭圆的右焦点E时△FAB的周长最大；

此时直线x=m=c=4；

故答案为：4.