Question

如图，已知四棱锥的底面为棱形，且面，，，，且，分别为，的中点.

（1）求证：面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）先利用线面垂直的性质证明，再由菱形的性质可得，根据线面垂直的判定定理可得结果；（2）建立空间直角坐标系, 取的中点，连，易证面，可得平面的一个法向量为，利用向量垂直数量积为零求出平面的法向量，利用空间向量加角余弦公式可求出二面角的余弦值.

（1）∵平面

∴

又∵在菱形中，对角线为与

∴

又∵

∴面

（2）

平面内，过作直线与垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，

，，，，，

∴中点，中点

则取的中点，连，

则，

所以 面，

所以面的一个法向量为，

设平面的一个法向量为，则

∴令，则，∴

令二面角的平面角为，易知该二面角为锐角

∴.