Question

已知三棱锥（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形为边长为的正方形，，均为正三角形，在三棱锥中.

（1）求证：平面平面；

（2）若点在棱上，满足，，点在棱上，且，求得取值范围.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）设AC的中点为O，连接BO，PO，先证明PO⊥AC，PO⊥OB，可得PO⊥平面ABC，从而可得结论；（2）以OC，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，求出与的坐标，令，得，化为，利用单调性可得结果.

（1）设AC的中点为O，连接BO，PO．

由题意，得PA＝PB＝PC＝，

PO=2，AO=BO=CO=1,
∵在△PAC中，PA=PC，O为AC的中点，∴PO⊥AC，

∵在△POB中，PO=1，OB=1，PB＝，

∴PO⊥OB．

∵AC∩OB=O，AC，OB⊂平面ABC，∴PO⊥平面ABC，
∵PO⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．  

（2）由PO⊥平面ABC，，如图建立空间坐标系，

则，

设，则，

，

令，得，

即，是关于的单调递增函数，

当时，，

故的取值范围为.