Question

若数列满足：存在正整数，对任意的，使得成立，则称为阶稳增数列.

（1）若由正整数构成的数列为阶稳增数列，且对任意，数列中恰有个，求的值；

（2）设等比数列为阶稳增数列且首项大于，试求该数列公比的取值范围；

（3）在（1）的条件下，令数列（其中，常数为正实数），设为数列的前项和.若已知数列极限存在，试求实数的取值范围，并求出该极限值.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）设，由题意得出，求出正整数的值即可；

（2）根据定义可知等比数列中的奇数项构成的等比数列为阶稳增数列，偶数项构成的等比数列也为阶稳增数列，分和两种情况讨论，列出关于的不等式，解出即可；

（3）求出，然后分、和三种情况讨论，求出，结合数列的极限存在，求出实数的取值范围.

（1）设，由于数列为阶稳增数列，则，

对任意，数列中恰有个，

则数列中的项依次为：、、、、、、、、、、、、、、、、，

设数列中值为的最大项数为，

则，

由题意可得，即，，解得，

因此，；

（2）由于等比数列为阶稳增数列，即对任意的，，且.

所以，等比数列中的奇数项构成的等比数列为阶稳增数列，偶数项构成的等比数列也为阶稳增数列.

①当时，则等比数列中每项都为正数，由可得，整理得，解得；

②当时，

（i）若为正奇数，可设，则，

由，得，即，整理得，解得；

（ii）若为正偶数时，可设，则，

由，得，即，整理得，解得.

所以，当时，等比数列为阶稳增数列.

综上所述，实数的取值范围是；

（3），由（1）知，则.

①当时，，，则，

此时，数列的极限不存在；

②当时，，

，

上式下式得，

所以，，则.

（i）若时，则，此时数列的极限不存在；

（ii）当时，，

此时，数列的极限存在.

综上所述，实数的取值范围是.