Question

已知点在上，以为切点的的切线的斜率为，过外一点（不在轴上）作的切线、，点、为切点，作平行于的切线（切点为），点、分别是与、的交点（如图）：

（1）用、的纵坐标、表示直线的斜率；

（2）若直线与的交点为，证明是的中点；

（3）设三角形面积为，若将由过外一点的两条切线及第三条切线（平行于两切线切点的连线）围成的三角形叫做“切线三角形”，如，再由、作“切线三角形”，并依这样的方法不断作切线三角形……，试利用“切线三角形”的面积和计算由抛物线及所围成的阴影部分的面积

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）设切线方程为， 代入数据计算得到答案.

（2）设，计算得到，，，计算得到得到答案.

（3）根据（2）知确定的切线三角的面积为，继续下去可得算式

，计算得到答案.

（1）设切线方程为， .

（2）设，则，所以（为的纵坐标），

设，利用切线方程得即两式相减得

由前面计算可知，平行于横轴，可得.

将代入得：，由，所以为的中点.

（3）设由（2）的结论可知

由确定的切线三角的面积为

后一个切线三角形的面积是前一切线三角形面积的由此继续下去可得算式

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