Question

已知，函数.

（1）求实数的值，使得为奇函数；

（2）若关于的方程有两个不同实数解，求的取值范围；

（3）若关于的不等式对任意恒成立，求的取值范围.

Answer

（1） ；（2） （3）

【解析】

(1）若为奇函数，则，进而可得实数的值，
（2）若关于的方程有两个不同的实数解，即方程有两个不同实数解,解出两个实数根，然后满足对数的真数为正即可.
（3）若关于的不等式对任意恒成立，即,对任意恒成立，打开绝对值，进而可得的取值范围．

(1) 为奇函数,则

即

即

所以

即 ，所以

解得：

(2) 方程有两个不同实数解

即方程有两个不同实数解

即方程有两个不同实数解.

设，则可以化为：

，即

当时方程不可能有两个不等实数根，所以

则或,

即或，

根据对数的真数必须大于0有，即

即： 则且

又，则

故方程满足条件的实数的范围是.

(3) 不等式对任意恒成立

即不等式对任意恒成立.

即对任意恒成立.

所以对任意恒成立.

即对任意恒成立.

即 ，

由

(当且仅当时取等号).

在上单调递增，所以当时，

所以

当时，不等式对任意恒成立.