Question

设函数f（x）＝2ax²+2bx，若存在实数x₀∈（0，t），使得对任意不为零的实数a，b均有f（x₀）＝a+b成立，则t的取值范围是_____．

Answer

【解析】

对任意不为零的实数，均有成立等价于，分或两种情况讨论，即可求出的范围.

f（x）＝a+b成立等价于（2x﹣1）b＝（1﹣2x2）a，

当x时，左边＝0，右边≠0，不成立，

当x时，（2x﹣1）b＝（1﹣2x2）a等价于，

设k＝2x﹣1，则x，

则（k﹣2），

∵x∈（0，t），（t），或x∈（0，）∪（，t），（t），

∴k∈（﹣1，2t﹣1），（t），或k∈（﹣1，0）∪（0，2t﹣1），（t），（*）

∵∀a，b∈R，

∴（k﹣2），在（*）上恒有解，

∴（k﹣2），在（*）上的值域为R，

设g（k）（k）﹣1，则g（k）在（﹣1，0），（0，2t-1）上单调递减，

对应值域为

要保证（k﹣2）在（*）上的值域为R，则

∴，

解得t＞1，

故答案为：.