Question

在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？

Answer

能，估计为51.4862

【解析】

引入记号，把男生样本记为，其平均数记为，方差记为；把女生样本记为，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为.

根据方差的定义，总样本方差为，为了与联系，变形为，计算后可得，.这样变形后可计算出．这也就是估计值．

把男生样本记为，其平均数记为，方差记为；把女生样本记为，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为.

根据方差的定义，总样本方差为

由，可得

.

同理可得

.

因此，

.①

由，，根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为

.

把已知的男生、女生样本平均数和方差的取值代入①，可得

.

我们可以计算出总样本的方差为51.4862，并据此估计高一年级学生身高的总体方差为51.4862.