Question

设椭圆的上顶点为A，右顶点为B，离心率为，．

（1）求椭圆的方程；

（2）不经过点A的直线与椭圆交于M、N两点，若以MN为直径的圆经过点A，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

Answer

（1）；（2）证明见解析，.

【解析】

（1）由可得，再结合，可求出，即可得到椭圆的方程；（2），设，，由以MN为直径的圆经过点A，可得，即，然后联立椭圆方程与直线的方程，结合根与系数关系可求得的值，进而可求出定点.

（1）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得．

由从而，．

所以，椭圆的方程为．

（2），

，即，

，，

，设，，

，

，

因为以MN为直径的圆经过点A，所以，

则，

即，整理得，

解得或，

又直线l不经过，所以，故，则直线l过定点．