Question

在正方体中，、分别是、的中点.

(1)求证：四边形是菱形；

(2)求异面直线与所成角的大小 (结果用反三角函数值表示) .

Answer

(1)证明见解析；（2）.

【解析】

试题（1）建立空间直角坐标系，如图所示：先证其是平行四边形，再根据空间向量模相等说明邻边相等即可；（2）可得，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.

试题解析：（1）设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，如图所示：

则, , ,

,

所以,即且,故四边形是平行四边形

又因为,所以

故平行四边形是菱形

(2)因为

设异面直线与所成的角的大小为

所以, 故异面直线与所成的角的大小为.

【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角以及空间向量的应用，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.