Question

已知曲线，直线经过点与相交于、两点.

(1)若且，求证：必为的焦点；

(2)设，若点在上，且的最大值为，求的值；

(3)设为坐标原点，若，直线的一个法向量为，求面积的最大值.

Answer

(1)证明见解析；（2）或；（3）.

【解析】

试题（1）利用两点之间距离公式，即可求得的值，由椭圆的方程，即可求得焦点坐标，即可证必为的焦点；（2）利用两点之间距离公式，根据二次函数的单调性，当时，取最大值，代入即可求得的值；（3）求得直线的方程，代入方程，由韦达定理，弦长公式及点到直线的距离公式，利用基本不等式的性质，即可求得面积的最大值.

试题解析：(1)，解得，所以点

由于，

故的焦点为，所以在的焦点上.

(2)设，则

(其中)

对称轴，所以当时，取到最大值，

故，即，解得或

因为，所以.

(3),,将直线方程与椭圆方程联立

，消去得，

其中恒成立．

设，则

设，令，则

当且仅当时，等号成立，即时，

故面积的最大值为.

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.