Question

已知椭圆：（），过原点的两条直线和分别与交于点、和、，得到平行四边形.

（1）若，，且为正方形，求该正方形的面积.

（2）若直线的方程为，和关于轴对称，上任意一点到和的距离分别为和，证明：.

（3）当为菱形，且圆内切于菱形时，求，满足的关系式.

Answer

（1）（2）证明见解析（3）

【解析】

（1）由题意，直线和的方程为和，利用 ，可得 ，根据对称性，求出正方形的面积；

（2）利用距离公式，结合为定值，即可证明结论；

（3）设出切线的方程与椭圆方程联立，分类讨论，即可求满足的关系式．

[解]（1）因为为正方形，所以直线和的方程为和.

点、的坐标、为方程组的实数解，

将代入椭圆方程，解得.

根据对称性，可得正方形的面积.

[证明]（2）由题设，直线的方程为，

于是，，.

[解]（3）设与圆相切的切点坐标为，于是切线的方程为.

点、的坐标、为方程组的实数解.

①当或时，均为正方形，椭圆均过点，于是有.

②当且时，将代入，

整理得，于是，

同理可得.

因为为菱形，所以，得，即，

于是，整理得，由，

得，即.

综上，，满足的关系式为.