Question

已知椭圆：（），右焦点，点在椭圆上；

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）是否存在过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，且？若存在，请求出所有符合要求的直线；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）存在过原点的直线l使得，直线l的方程为．

【解析】

（1）根据焦点坐标和D点坐标列方程组求出，即可；

（2）对直线l的斜率进行讨论，使用根与系数的关系计算，根据计算结果是否为0得出结论．

（1）由题意可知，

解得，，

∴椭圆C的标准方程为：．

（2）若直线l无斜率，则直线l的方程为，

∴，，又，

∴，符合题意；

若直线l有斜率，设直线l的方程为，

联立方程组，消元得，

设，，则，，．

∴，，

∴

，

∴与不垂直，即．

综上，存在过原点的直线l使得，直线l的方程为．