Question

设是定义在上的函数，若存在，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为上的单峰函数，称为峰点，包含峰点的区间称为含峰区间；

（1）判断下列函数：①，②，哪些是“上的单峰函数”？若是，指出峰点，若不是，说明理由；

（2）若函数（）是上的单峰函数，求实数a的取值范围；

（3）设是上的单峰函数，若m，），，且，求证：为的含峰区间．

Answer

（1）见解析；（2）；（3）见解析.

【解析】

（1）依次判断各函数在上是否存在极大值点即可得出结论；

（2）求出的极大值点，令极大值点在区间上即可；

（3）利用的单调性得出的峰点在区间上即可．

（1）①，令得，

当时，，当时，，

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴是上的单峰函数，峰点为；

②当时，．

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴不是上的单峰函数；

（2），令得，

当时，，当时，，

当时，，

∴是的极大值点，

∵函数是上的单峰函数，

∴，解得：．

（3）证明：∵是上的单峰函数，

∴存在，使得在上单调递增，在上单调递减，

假设，则在上是增函数，

∴，与矛盾；

∴假设错误，故，

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴为的含峰区间．