Question

设数列，对任意都有，（其中k、b、p是常数）．

（1）当，，时，求；

（2）当，，时，若，，求数列的通项公式；

（3）若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当，，时，设是数列的前n项和，，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使得对任意，都有，且．若存在，求数列的首项的所有取值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）；（2）；（3）见解析.

【解析】

（1）当，，时，，再写一式，两式相减，可得数列是以首项为1，公比为3的等比数列，从而可求；

（2）当，，时，，再写一式，两式相减，可得数列是等差数列，从而可求数列的通项公式；

（3）确定数列的通项，利用是“封闭数列”，得是偶数，从而可得，再利用，验证，可求数列的首项的所有取值．

（1）当，，时，，①

用去代n得，，②

②①得，，，

在①中令得，，则，∴，

∴数列是以首项为1，公比为3的等比数列，

∴．

（2）当，，时，，③

用去代n得，，④

④③得，，⑤

用去代n得，，⑥

⑥⑤得，，即，

∴数列是等差数列．

∵，，∴公差，∴．

（3）由（2）知数列是等差数列，∵，∴．

又是“封闭数列”，得：对任意m，，必存在使，

得，故是偶数，

又由已知，，故．

一方面，当时，，对任意，都有．

另一方面，当时，，，则，

取，则，不合题意．

当时，，，则，

当时，，，，

又，

∴或或或．