Question

如图，在四棱柱中，底面为等腰梯形，，.平面平面，四边形为菱形，.

（1）求证：；

（2）求与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

方法一（几何法）：（1）通过证明，证得平面，由此证得；（2）作出直线与平面所成角，利用两角差的正切公式，求得线面角的正切值，再转化为正弦值.

方法二（向量法）：（1）取中点，连接，证得底面，由此以为原点建立空间直角坐标系，通过计算，证得.（2）由（1）计算出直线的方向向量和平面的法向量，由此计算出与平面所成角的正弦值.

方法一、

（1）连接、，取中点，连接、.

∵等腰梯形中，，.

∴，.

又∵在菱形中，，∴.

又平面平面，交线为，∴底面.

∵，，

∴四边形为平行四边形，.

∴底面，∴，

又∵，相交，∴平面，

∴.

（2）取中点，连接，，，，相交于点，连接，显然平面平面.

∵平面，∴平面平面，∴平面平面，交线为，∴为与平面所成角.

∵，，

∴，∴由解得.∴与平面所成角的正弦值为.

方法二、

（1）取中点，连接.

∵四边形为菱形，，∴.

又平面平面，交线为，∴底面.

以为原点如图建立空间直角坐标系，

则，，，，.

∴，

，

∴，∴.

（2），设平面的法向量为，则，取，.

∴与平面所成角的正弦值为.