Question

设点，的坐标分别为，，直线和相交于点，且和的斜率之差是1.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过轨迹上的点，，作圆：的两条切线，分别交轴于点，.当的面积最小时，求的值.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）设出点坐标，根据和的斜率之差是列方程，化简后求得点的轨迹的方程.注意排除斜率不存在的情况.

（2）设出切线的斜率，由点斜式写出切线方程，利用圆心到切线的距离为列方程，化简后写出关于切线、的斜率，的根与系数关系，求得两点的坐标，进而求得的面积的表达式，化简后利用基本不等式求得的面积的最小值以及此时对应的值.

（1）设，由题意得.

化简得点的轨迹的方程为：.

（2）由点所引的切线方程必存在斜率，设为.

则切线方程为，即.

其与轴的交点为，

而圆心到切线的距离，

整理得：①，

切线、的斜率分别为，，则，是方程①的两根，

故，

而切线与轴的交点为，故，，

又，，

∴

，

将代入得

，

而点在上，故，

∴

，

当且仅当，即时等号成立.

又，∴，

故当点坐标为，时，.