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设点,的坐标分别为,,直线和相交于点,且和的斜率之差是1. (1)求点的轨迹的方...

设点的坐标分别为,直线相交于点,且的斜率之差是1.

1)求点的轨迹的方程;

2)过轨迹上的点,作圆的两条切线,分别交轴于点.当的面积最小时,求的值.

 

(1)(2) 【解析】 (1)设出点坐标,根据和的斜率之差是列方程,化简后求得点的轨迹的方程.注意排除斜率不存在的情况. (2)设出切线的斜率,由点斜式写出切线方程,利用圆心到切线的距离为列方程,化简后写出关于切线、的斜率,的根与系数关系,求得两点的坐标,进而求得的面积的表达式,化简后利用基本不等式求得的面积的最小值以及此时对应的值. (1)设,由题意得. 化简得点的轨迹的方程为:. (2)由点所引的切线方程必存在斜率,设为. 则切线方程为,即. 其与轴的交点为, 而圆心到切线的距离, 整理得:①, 切线、的斜率分别为,,则,是方程①的两根, 故, 而切线与轴的交点为,故,, 又,, ∴ , 将代入得 , 而点在上,故, ∴ , 当且仅当,即时等号成立. 又,∴, 故当点坐标为,时,.
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