Question

已知函数.

（1）求函数在上的单调递增区间；

（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.求证：存在无穷多个互不相同的整数，使得.

Answer

（1）单调递增区间为；（2）见解析.

【解析】

（1）利用二倍角的降幂公式以及辅助角公式可将函数的解析式化简为，然后求出函数在上的单调递增区间，与定义域取交集可得出答案；

（2）利用三角函数图象变换得出，解出不等式的解集，可得知对中的任意一个，每个区间内至少有一个整数使得，从而得出结论.

（1）.

令，解得，

所以，函数在上的单调递增区间为，

，因此，函数在上的单调递增区间为；

（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，

再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，

由，

对于中的任意一个，区间长度始终为，大于，

每个区间至少含有一个整数，

因此，存在无穷多个互不相同的整数，使得.