Question

假定生男孩和生女孩是等可能的，令｛一个家庭中既有男孩又有女孩｝，｛一个家庭中最多有一个女孩｝.对下述两种情形，讨论与的独立性.

（1）家庭中有两个小孩；

（2）家庭中有三个小孩.

Answer

（1）A，B不相互独立 （2）A与B是相互独立

【解析】

（1）根据独立事件的概率性质,利用列举法得事件与事件,即可得,即可判断家庭中有两个小孩时事件与事件是否独立.

（2）根据独立事件的概率性质,利用列举法得事件与事件,即可得,即可判断家庭中有三个小孩时事件与事件是否独立.

（1）有两个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为={（男,男）,（男,女）,（女,男）,（女,女）},它有4个样本点

由等可能性可知每个样本点发生的概率均为

这时{（男,女）,（女,男）},{（男,男）,（男,女）,（女,男）},{（男,女）,（女,男）}

于是

由此可知

所以事件A,B不相互独立.

（2）有三个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为={（男,男,男）,（男,男,女）,（男,女,男）,（女,男,男）,（男,女,女）,（女,男,女）,（女,女,男）,（女,女,女）}.

由等可能性可知每个样本点发生的概率均为,

这时A中含有6个样本点,B中含有4个样本点,AB中含有3个样本点.

于是,

显然有成立,从而事件A与B是相互独立的.