Question

四棱锥S-ABCD的底面为正方形，，AC与BD交于E，M，N分别为SD，SA的中点，.

（1）求证：平面平面SBD；

（2）求直线BD与平面CMN所成角的大小.

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）通过证明，，证明平面SAC，即可得证；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量关系得线面角.

【解析】
（1）因为，故，

故，

则，

而，

故，

而，

故平面ABCD，

而平面ABCD，故，

又，

故平面SAC，

而平面SBD，

故平面平面SBD；

（2）以C为原点，分别以CD，CB，CS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

，

则，

设平面CMN的法向量为，

由，即，

令，故为平面CMN的一个法向量，

记直线BD与平面CMN所成角为，

故

则直线BD与平面CMN所成角为.