Question

抛物线的准线与轴交于点，过点作直线交抛物线于，两点.

（1）求直线的斜率的取值范围；

（2）若线段的垂直平分线交轴于，求证：；

（3）若直线的斜率依次为，，，…，，…，线段的垂直平分线与轴的交点依次为，，，…，，…，求.

Answer

（1）k∈（﹣1，0）∪（0，1）；（2）见解析（3）

【解析】

（1）求得抛物线的准线方程，可得M的坐标和直线l的方程，联立抛物线方程，运用判别式大于0，即可得到所求范围；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），运用韦达定理和中点坐标公式，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得AB的垂直平分线方程，可令y＝0，求得x，即可得证；

（3）设Nm（xm，0），求得，所以，由等比数列的求和公式，即可得到所求和．

（1）抛物线y2＝2x的准线为x，

，设l：，

联立直线与抛物线的方程：（*）．

因为l交抛物线于两点，所以k≠0且二次方程（*）根的判别式△＞0，

即（k2﹣2）2﹣k4＞0，

解得k∈（﹣1，0）∪（0，1）；

（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），

由韦达定理可得，，

所以AB中点的坐标为，

所以AB中垂线方程为，

令y＝0，可得．

（3）设Nm（xm，0），由直线l的斜率依次为，

可得xm，

则，

所以，

（）

•，

所以．