Question

如图，有一块平行四边形绿地，经测量百米，百米，，拟过线段上一点设计一条直路（点在四边形的边上，不计路的宽度），将绿地分成两部分，且右边面积是左边面积的3倍，设百米，百米．

（1）当点与点重合时，试确定点的位置；

（2）试求的值，使路的长度最短．

Answer

（1）是的中点；（2）当（百米）时，路最短为（百米）．

【解析】

试题（1）只要利用面积公式求面积可得，先求得平行四边形的面积，然后求得的面积（用表示），利用它们的面积关系可得值，知是中点；（2）为了求的长，要分类，分在边上和在上，前者利用面积求得，由余弦定理求得，由基本不等式得最小值，后者同样利用面积关系求得，在梯形中求腰长（可分类和），由二次函数性质得最小值比较后得结论．

试题解析：（1）平行四边形的面积为，当点与点重合时，，

∵，∴（百米），∴是的中点．

（2）①当点在上时，∵，∴，

在三角形中，，

∴，当且仅当时取等号．

此时在中点处且与重合，符合题意；

②当点在上时，

∵，∴，

I．当时，过作交于，

在中，，由余弦定理得；

II．当，过作交于，

在中，，由余弦定理得；

由I、II可得

∴当时，，

此时在的八等分点（靠近）处且（百米），符合题意；

∴由①②可知，当（百米）时，路最短为（百米）