Question

对于函数f₁（x），f₂（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），那么称h（x）为f₁（x），f₂（x）的生成函数.

（1）函数f₁（x）=x²﹣x，f₂（x）=x²+x+1，h（x）=x²﹣x+1，h（x）是否为f₁（x），f₂（x）的生成函数？说明理由；

（2）设f₁（x）=1﹣x，f₂（x）=，当a=b=1时生成函数h（x），求h（x）的对称中心（不必证明）；

（3）设f₁（x）=x，（x≥2），取a=2，b＞0，生成函数h（x），若函数h（x）的最小值是5，求实数b的值.

Answer

（1）不是，理由见解析；（2）（1，1）；（3）1

【解析】

（1）先假设存在，列出方程，根据方程无解，得出不存在；

（2）化简函数式为h（x）=1﹣x++1，从而判断函数图象关于点（1，1）中心对称；

（3）运用双勾函数的图象和性质，并通过分类讨论确定函数的最值．

【解析】
（1）根据生成函数的定义，设存在a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），

则x2﹣x+1=a（x2﹣x）+b（x2+x+1）=（a+b）x2+（b﹣a）x+b，

对比两边的系数可知，，方程无解，

所以，h（x）不是f1（x），f2（x）的生成函数；

（2）因为a=b=1，所以，h（x）=1﹣x+，

而h（x）=1﹣x+=（1﹣x）+=+1，

该函数的图象为双曲线，对称中心为（1，1）；

（3）根据题意，h（x）=2x+=2（x﹣1）++2（x≥2），

根据基本不等式，2（x﹣1）+≥2，

当且仅当：x=+1时，取“=”，

因此，函数h（x）在（1， +1）上单调递减，在（+1，+∞）上单调递增，

故令+1=2，解得b=2，最值情况分类讨论如下：

①当b∈（0，2]时，+1≤2，

所以，当x≥2时，h（x）单调递增，h（x）min=h（2）=b+4=5，解得b=1，符合题意；

②当b∈（2，+∞）时，+1＞2，

所以，当x≥2时，h（x）先减后增，h（x）min=h（+1）=2+2=5，解得b=，不合题意；

综上：实数b的值为1．