Question

设函数，其中为已知实常数，，则下列命题中错误的是（    ）

A.若，则对任意实数恒成立；

B.若，则函数为奇函数；

C.若，则函数为偶函数；

D.当时，若，则 （）．

Answer

D

【解析】

利用两角和的余弦公式化简表达式.

对于A选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出A选项为真命题.

对于B选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出为奇函数，由此判断出B选项为真命题.

对于C选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出为偶函数，由此判断出C选项为真命题.

对于D选项，根据、，求得的零点的表达式，由此求得 （），进而判断出D选项为假命题.

.

不妨设 ．为已知实常数.

若，则得 ；若，则得．

于是当时，对任意实数恒成立，即命题A是真命题；

当时，，它为奇函数，即命题B是真命题；

当时，，它为偶函数，即命题C是真命题；

当时，令，则

，

上述方程中，若，则，这与矛盾，所以．

将该方程的两边同除以得

，令 （），

则 ，解得 （）．

不妨取 ， （且），

则，即 （），所以命题D是假命题．

故选：D