Question

设函数和都是定义在集合上的函数，对于任意的，都有成立，称函数与在上互为“互换函数”．

（1）函数与在上互为“互换函数”，求集合；

（2）若函数 （且）与在集合上互为“互换函数”，求证：；

（3）函数与在集合且上互为“互换函数”，当时,，且在上是偶函数,求函数在集合上的解析式．

Answer

（1）（2）见解析（3），

【解析】

（1）利用列方程，并用二倍角公式进行化简，求得或，进而求得集合.

（2）由，得（且），化简后根据的取值范围，求得的取值范围.

（3）首先根据为偶函数，求得当时，的解析式，从而求得当时，的解析式.依题意“当，恒成立”，化简得到，根据函数解析式的求法，求得时，以及，进而求得函数在集合上的解析式.

（1）由得

化简得，，所以或．

由解得或，，

即或，．

又由解得 ，．

所以集合，或，

即集合．

（2）证明：由，得（且）．

变形得 ，所以．

因为，则 ，所以 ．

（3）因为函数在上是偶函数，则 ．当，则，所以．所以 ，

因此当时，．

由于与函数在集合上“互换函数”，

所以当，恒成立．

即对于任意的恒成立．

即．

于是有，

，．

上述等式相加得 ，即．

当（）时,，

所以 ．

而，，

所以当时，

，