Question

如图，四棱锥的底面是平行四边形，是的中点，，.

（1）求证：平面；

（2）若，点在侧棱上，且，二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）设是的中点，连结，可证，由，则，又由，即可得证；

（2）以为原点，方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值.

【解析】
（1）证明：平行四边形中，设是的中点，连结，

因为是的中点，所以，

又由，得，

所以，平行四边形中，，则，

又由，且，平面，平面，

故平面

（2）由（1）知平面，

又平面，

于是平面平面，连结，

由，可得，

则，所以平面，

又，所以平面，

得，

故二面角的平面角为，

由此得，

以为原点，方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则，

由，可知点，

则，

设平面的法向量为，

由，

取，

设直线与平面所成角为，

所以