Question

已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上任意一点，的最小值为，且该椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若是椭圆上不同的两点，且，若，试问直线是否经过一个定点？若经过定点，求出该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由.

Answer

（1）（2）直线过定点

【解析】

（1）依题意得到方程组解得；

（2）已知且，可知点同在轴的上方或下方，

由对称性可知，若动直线经过一个定点，则该定点在轴上，因为，所以点关于轴的对称点在直线上，

设直线的方程为，则直线的方程为，联立直线与椭圆方程，列出韦达定理，由直线的斜率，得直线的方程为，令，计算其横坐标是否为定值.

【解析】
（1）依题意得，解得，所以椭圆；

（2）直线过定点，

证明：已知且，可知点同在轴的上方或下方，

由对称性可知，若动直线经过一个定点，则该定点在轴上，

因为，所以点关于轴的对称点在直线上，

设直线的方程为，则直线的方程为，

联立，消去整理得又，

所以，

由直线的斜率，得直线的方程为，

令，得：，

由，

所以

即，

所以直线过定点.