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如图,某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型,先用木料搭边框,再用其他材料填充,已...

如图,某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型,先用木料搭边框,再用其他材料填充,已知金字塔的每一条棱和边都相等.

(1)求证:直线AC垂直于直线SD

(2)若搭边框共使用木料24米,则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满?

 

(1)见解析;(2) 【解析】 (1)连结AC,BD,由正方形的性质得出AC⊥BD,由等腰三角形三线合一得出AC⊥SO故而AC⊥平面SBD,于是AC⊥SD;(2)正四棱锥的棱长为3,计算棱锥的高和底面积,代入体积公式计算四棱锥的体积. (1)连接AC,BD交于点O,则O为线段BD中点, ∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD. 在△SBD中,∵,∴SO⊥AC, ∵,平面SBD,平面SBD, ∴AC⊥平面SBD,∵平面SBD, ∴AC⊥SD. (2)由题意得正四棱锥边长为3米. ∴, 棱锥的高, ∴立方米, 答:需要立方米填充材料.
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