Question

如图，曲线由两个椭圆：和椭圆：组成，当成等比数列时，称曲线为“猫眼曲线”.

（1）若猫眼曲线过点，且的公比为，求猫眼曲线的方程；

（2）对于题（1）中的求猫眼曲线，任作斜率为且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆所得弦的中点为M，交椭圆所得弦的中点为N，求证：为与无关的定值；

（3）若斜率为的直线为椭圆的切线，且交椭圆于点，为椭圆上的任意一点（点与点不重合），求面积的最大值.

Answer

（1），（2）见解析（3）见解析

【解析】

由题意知，，从而求猫眼曲线的方程；设交点，，从而可得，联立方程化简可得，；从而解得设直线l的方程为，联立方程化简，从而可得，同理可得，从而利用两平行线间距离表示三角形的高，再求；从而求最大面积．

（1），，

，；

（2）设斜率为的直线交椭圆于点，线段中点

由，得

存在且，，且

，即

同理，

得证

（3）设直线的方程为

，

，

，

，

两平行线间距离：

的面积最大值为