Question

如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于不同两点，为拋物线上任意一点（与不重合），直线分别交抛物线的准线于点.

（Ⅰ）写出焦点的坐标和准线的方程；

（Ⅱ）求证：.

Answer

（I），；（II）证明见解析.

【解析】

（I）根据抛物线方程即可直接得到焦点坐标和准线方程；

（II）设方程为，与抛物线方程联立可得；利用直线两点式方程得到直线方程，整理可得，代入即可求得点坐标，同理可得点坐标；根据向量数量积运算，可整理得到，由此得到垂直关系.

（I）由抛物线方程知：焦点，准线为：

（II）设直线的方程为：

令，，

由消去得：，则.

直线方程为：

即

当时，

同理得：

，