Question

已知函数．

（1）求证：函数在内单调递增；

（2）记为函数的反函数．若关于的方程在上有解，求的取值范围；

（3）若对于恒成立，求的取值范围．

Answer

（1）证明见解析；（2）[log2，log2]；（3）（log2，+∞）

【解析】

（1）用单调性定义证明，先任取两个变量，且界定大小，再作差变形，通过分析，与零比较，要注意变形要到位；

（2）先求得反函数，构造函数，利用复合函数的单调性求得函数的值域；

（3）原不等式转化为，，恒成立，解得即可．

【解析】
（1）任取，则，

，，

，

，

即函数在内单调递增

（2），

当时，，

的取值范围是．

（3）对于，恒成立，

，

在定义域上单调递增

，上恒成立

即在上恒成立

令，

在定义域上单调递增，且在上也单调递增，由复合函数的单调性可知在上单调递增，

解得．

故的取值范围为．