Question

已知函数，若存在，使得，则实数的值为______．

Answer

【解析】

函数f（x）可以看作是动点M（x，ex）与动点N（-a，-）之间距离的平方，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y=ex得，y′=ex=，曲线上点M（-1，）到直线y=x的距离最小，要使f（x0）≤，则f（x0）=，然后求解a即可．

函数f（x）=（x+a）2+（ex+）2，

函数f（x）可以看作是动点M（x，ex）与动点N（-a，-）之间距离的平方，

动点M在函数y=ex的图象上，N在直线y=x的图象上，

问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，

由y=ex得，y′=ex=，解得x=-1，

所以曲线上点M（-1，）到直线y=x的距离最小，最小距离d=，

则f（x）≥，

根据题意，要使f（x0）≤，则f（x0）=，

此时N恰好为垂足，由KMN=-e，解得a= ．

故答案为．