Question

如图，已知中，，平面，是的中点.

（Ⅰ）若是的中点，求证：平面平面；

（Ⅱ）若，求平面与平面所成的锐二面角的大小.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】

试题（Ⅰ）由平面得，由得，所以平面，又E、F分别是AC、AD的中点，所以平面，所以平面平面；（Ⅱ）解法1：（坐标法）建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，解得平面的发向量，而平面的法向量是=，通过空间向量的数量积运算求出法向量的夹角的余弦为，所以锐二面角的大小为；法2：（先作出二面角的平面角，再在三角形中求出角的大小）.延长,交的延长线于，连结， 过作于过作于，连结,则，易证为所求二面角的平面角，在中可求得，在中，可以解得，所以在中，，即平面与平面所成的锐二面角为.

试题解析：（Ⅰ）证明：平面，．

又平面.

E、F分别是AC、AD的中点，．

平面，平面，

平面平面．

（Ⅱ）解法1：如图建立空间直角坐标系则

,

,

设平面，

则，取

平面的法向量是=，

， 所以，平面与平面所成的锐二面角为．

法2：延长,交的延长线于，连结， 过作于

则平面，

过作于，连结,则，

即为所求二面角的平面角．

,

在中，可以解得，

在中，，即平面与平面所成的锐二面角为．