Question

已知函数.

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）若不等式对于任意恒成立，求正实数的取值范围.

Answer

(1) 当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在和上单调递增. (2)

【解析】

(1)对函数求导得到，讨论a和0和1的大小关系，从而得到单调区间；（2）原题等价于对任意，有成立，设，所以，对g(x)求导研究单调性，从而得到最值，进而求得结果.

（Ⅰ）函数的定义域为．

．

① 若，则

当或时，，单调递增；

当时，，单调递减；

②若，则当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；

当时，函数在上单调递减，在和上单调递增．

（Ⅱ）原题等价于对任意，有成立，

设，所以．

．

令，得；令，得．

∴ 函数在上单调递减，在上单调递增，

为与 中的较大者．

设 ，

则，

∴ 在上单调递增，故，

所以，

从而 ．

∴ ，即．

设 ，则．

所以在上单调递增．

又，

所以的解为．

∵，

∴ 的取值范围为．