Question

已知两动圆和（），把它们的公共点的轨迹记为曲线，若曲线与轴的正半轴的交点为，且曲线上的相异两点满足：.

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）证明直线恒经过一定点，并求此定点的坐标；

（3）求面积的最大值.

Answer

（1）；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）设两动圆的公共点为，由椭圆定义得出曲线是椭圆，并得出、、的值，即可得出曲线的方程；

（2）求出点，设点，，对直线的斜率是否存在分两种情况讨论，在斜率存在时，设直线的方程为，并将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合条件并代入韦达定理求出的值，可得出直线所过点的坐标，在直线的斜率不存在时，可得出直线的方程为，结合这两种情况得出直线所过定点坐标；

（3）利用韦达定理求出面积关于的表达式，换元，然后利用基本不等式求出的最大值.

（1）设两动圆的公共点为，则有：．

由椭圆的定义可知的轨迹为椭圆，，，所以曲线的方程是：；

（2）由题意可知：，设，，

当的斜率存在时，设直线，联立方程组：

，把②代入①有：，

③，④，

因为，所以有，

，把③④代入整理：

，（有公因式）继续化简得：

，或（舍），

当的斜率不存在时，易知满足条件的直线为：

过定点，综上，直线恒过定点；

（3）面积，

由第（2）小题的③④代入，整理得：，

因在椭圆内部，所以，可设，

，，（时取到最大值）．

所以面积的最大值为．