Question

已知数列中，，，的前项和为，且满足（）.

（1）试求数列的通项公式；

（2）令，是的前项和，证明：；

（3）证明：对任意给定的，均存在，使得时，（2）中的恒成立.

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析

【解析】

(1)由题意首先整理所给的递推关系式，然后利用累加法即可求得数列的通项公式；

(2)结合(1)中的通项公式裂项求和求得数列的前项和即可证得题中的结论；

(3)首先求解不等式得到实数n的取值范围，然后结合所得的结果给出的值即可.

（1）由题意知（n≥3），

即（n≥3），

，n≥3.

检验知n=1，2时，结论也成立，

故.

（2） 由于bn===

故

，

所以，.

（3）若Tn＞m，其中m∈（0，），则有＞m，

则2n+1＞，

故，

取（其中[x]表示不超过x的最大整数），

则当时，.