Question

已知抛物线，为抛物线上的点，若直线经过点且斜率为，则称直线为点的“特征直线”.设、为方程（）的两个实根，记.

（1）求点的“特征直线”的方程；

（2）已知点在抛物线上，点的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐进线垂直，且与轴的交于点，点为线段上的点.求证：；

（3）已知、是抛物线上异于原点的两个不同的点，点、的“特征直线”分别为、，直线、相交于点，且与轴分别交于点、.求证：点在线段上的充要条件为（其中为点的横坐标）.

Answer

（1）（2）证明见解析（3）证明见解析

【解析】

（1）计算的斜率为1，再计算直线方程得到答案.

（2）根据与渐近线垂直得到，线段的方程为，得到，代入方程得到，，计算得到.

（3））设，，得到所对应的方程为：计算得到，分别证明充分性和必要性得到答案.

（1）由题意的斜率为1，所以点的“特征直线”的方程为.

（2）设点，由于双曲线所求渐进线的斜率为

所以，进而得，线段的方程为

所以满足

所对应方程为：，解得，

因为，所以，进而

（3）设，，

则、的方程分别为，，

解、交点可得，，

所对应的方程为：，

必要性：因为点在线段上

当时，，得，

当时，，得，

所以，进而

①充分性：由，得，

当时，，得，

当时，得，得，

所以点在线段上.

综上所述：点在线段上的充要条件为