Question

设函数，且（其中e是自然对数的底数）．

（Ⅰ）若，求的单调区间；

（Ⅱ）若，求证：．

Answer

（Ⅰ）增区间为，减区间为；（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）当时，令，对求导分析出其单调性，从而分析出函数值的符号，得到的单调区间.
（Ⅱ）对求导讨论其单调性，分析其最小值，证明其最小值大于0即可.

（Ⅰ）由可得，，又，∴，，，

令，，

当时，，在单调增函数，又.

∴当时，，，当时，；，

∴的单调增区间为，减区间为

（Ⅱ）当时，，符合题意.

方法（一）当时，

令，又，

∴在唯一的零点，设为，有

且，，单调递减；，，单调递增

∴∵，∴，两边取对数，

∴

（当且仅当时到等号）

设，∴，

当时，，当时，；

又，且，，趋向0时，；

∴当，，当且仅当时取等号

由（1）可知，当时，，故当时，，，∴

综上，当时，

方法（二）

当时，（i）当时

，，显然成立；

（ii）当时，构造函数

，在为减函数，∴，∴

∴，∴

∴

又由，可得，进而

综上：当时，