Question

已知函数（是自然对数的底数）.证明:

（1）存在唯一的极值点;

（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为相反数.

Answer

（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）要证明存在唯一的极值点，通常情况下，即证明有唯一解，且在此解左右两边的单调性不一致即可；

（2）首先借助第（1）问的结论与零点存在定理证明在只有一个零点，在只有一个零点，然后令去证明，即可得到的两根互为相反数.

证明:（1）的定义域为

，

当时,；

当时,,即在上是增函数，

又，

所以存在,使得

并且当时,当时,，

所以当时,是减函数，

当时,是增函数，

即是唯一的极值点,且是极小值点。

（2）由（1）得： 在上是减函数，其中，

又

所以在只有一个零点，且这个零点在区间上，

在上是增函数，

又，，

所以在只有一个零点，且这个零点在区间上，

所以仅有两个零点,分别记作

由于，

所以，即，故.

即也是的零点,即

所以,即的两根互为相反数.