Question

棱长为1的正方体中，点、分别在线段、上运动（不包括线段端点），且.以下结论：①；②若点、分别为线段、的中点，则由线与确定的平面在正方体上的截面为等边三角形；③四面体的体积的最大值为；④直线与直线的夹角为定值.其中正确的结论为______.（填序号）

Answer

① ② ③

【解析】

①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分别为E，F，可得四边形MNEF是矩形，可得MN∥FE，利用AA1⊥面AC，可得结论成立；

②截面为△AB1C，为等边三角形，故正确．

③设，则＝dM﹣BCN=，故③成立；

④设，当接近于0时，直线与直线的夹角接近于，当接近于1时，夹角接近于，故④不正确；

①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分别为E，F，∵AM＝BN，∴NE＝MF，∴四边形MNEF是矩形，∴MN∥FE，∵AA1⊥面AC，EF⊂面AC，∴AA1⊥EF，∴AA1⊥MN，故①正确；

②点M、N分别为线段AB1、BC1的中点，则由线MN与AB1确定的平面在正方体ABCD﹣A1B1C1D1 上的截面为△AB1C，为等边三角形，故②正确．

③设，则＝dM﹣BCN，又AM=BN=,

∴=，dM﹣BCN =，∴＝dM﹣BCN=，当且仅当时取得最大值，故③成立；

④设，当接近于0时，直线与直线的夹角近似于直线和直线的夹角，接近于，当接近于1时，直线与直线的夹角近似于直线和直线的夹角，接近于，故④不正确；

综上可知，正确的结论为①②③

故答案为①②③