Question

已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆，离心率，且椭圆过点.

(1)求椭圆的方程；

(2)设椭圆左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于不同的两点，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）（1）；（2），.

【解析】

试题（Ⅰ）设椭圆方程，由题意列关于的方程组求解的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设，不妨设，设的内切圆的径，则的周长为，，因此最大，就最大．设直线的方程为，与椭圆方程联立，从而可表示的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论．

试题解析：【解析】
（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为．则，解得：．∴椭圆方程为，

（Ⅱ）设，不妨，设的内切圆的半径，

则的周长为，因此最大，

就最大，

由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，

由得，得

则，

令，则，∴，

令，则，当时，，在上单调递增，有，

即当时，，，∴，这时所求内切圆面积的最大值为．

故直线内切圆面积的最大值为