Question

棋盘上标有第、、、、站，棋子开始位于第站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到调到第站或第站时，游戏结束.设棋子位于第站的概率为.

（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币次后，求棋手所走步数之和的分布列与数学期望；

（2）证明：；

（3）求、的值.

Answer

（1）分布列见解析，随机变量的数学期望为；（2）证明见解析；

（3），.

【解析】

（1）根据题意得出随机变量的可能取值有、、、，利用独立重复试验的概率公式计算出随机变量在相应取值时的概率，可列出随机变量的分布列，由此计算出随机变量的数学期望；

（2）根据题意，棋子要到第站，由两种情况，由第站跳站得到，也可以由第站跳站得到，由此得出，并在该等式两边同时减去，可得出所证等式成立；

（3）结合（1）、（2）可得，利用累加法求出数列的通项公式，从而可求出和的值.

（1）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、.

，，

，.

所以，随机变量的分布列如下表所示：

所以，随机变量的数学期望为；

（2）根据题意，棋子要到第站，由两种情况，由第站跳站得到，其概率为 ，也可以由第站跳站得到，其概率为，所以，.

等式两边同时减去得；

（3）由（2）可得，，.

由（2）可知，数列是首项为，公比为的等比数列，

，

，

又，则，

由于若跳到第站时，自动停止游戏，故有.