Question

如图，在三棱柱中，侧棱底面,底面是正三角形,

(1)求证:平面;

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

(1)证明见解析,(2)

【解析】

(1) 在线段上取一点.使.连结.利用线段成比例定理可以证明出线线平行以及数量关系,根据平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理可以证明出本问；

(2) 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可以求出直线与平面所成角的正弦值.

(1)证明:在线段上取一点.使.连结.

在中.因为,

所以,

所以,

所以，且,

因为.

所以,

所以且,

故四边形为平行四边形,所以,

又平面平面,

所以平面.

(2)以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

因为底面是正三角形，,

所以点,

则,

设平面的法向量为.

由,

令.得平面的一个法向量为,

又,

设直线与平面BCF所成角的大小为.

则,

所以直线与平面所成角的正弦值为.