Question

已知函数，，其中是自然对数的底数．

（Ⅰ），使得不等式成立，试求实数的取值范围；

（Ⅱ）若，求证：．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．

【解析】

试题第一问根据题意将问题转化为在区间上的最大值小于等于在区间上的最大值，之后根据函数的单调性求得相应的最值，第二问转化不等式，将问题转化为一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，从而求得结果．

试题解析：（Ⅰ） 由题意，，使得不等式成立，

等价于．1分

，

当时，，故在区间上单调递增，

所以时，取得最大值1．即

又当时，，

所以在上单调递减，所以，

故在区间上单调递减，因此，时，．

所以，则．

实数的取值范围是．

（Ⅱ）当时，要证，只要证，

即证，由于，

只要证．

下面证明时，不等式成立．

令，则，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

所以当且仅当时，取最小值为1．

法一：，则，即，即，

由三角函数的有界性，，即，所以，而，

但当时，；时，

所以，，即

综上所述，当时，成立．

法二：令，其可看作点与点连线的斜率，

所以直线的方程为：，

由于点在圆上，所以直线与圆相交或相切，

当直线与圆相切且切点在第二象限时，

直线取得斜率的最大值为．而当时，；

时，．所以，，即

综上所述，当时，成立．

法三：令，则，

当时，取得最大值1，而，

但当时，；时，

所以，，即

综上所述，当时，成立．