Question

给出定理：在圆锥曲线中，是抛物线的一条弦，是的中点，过点且平行于轴的直线与抛物线的交点为.若两点纵坐标之差的绝对值，则的面积，试运用上述定理求解以下各题：

（1）若，所在直线的方程为，是的中点，过且平行于轴的直线与抛物线的交点为，求；

（2）已知是抛物线的一条弦，是的中点，过点且平行于轴的直线与抛物线的交点为，分别为和的中点，过且平行于轴的直线与抛物线分别交于点，若两点纵坐标之差的绝对值，求和；

（3）请你在上述问题的启发下，设计一种方法求抛物线：与弦围成成的“弓形”的面积，并求出相应面积.

Answer

（1）；（2），；（3）设计方法见详解，

【解析】

（1）由题意，先计算出，然后直接根据求解的值；

（2）根据条件可知，的面积计算符合定理的计算方法，故可直接利用定理中的计算方法求解的值；

（3）对“弓形”进行无数次（2）中的操作，每操作一次面积增加的量构成等比数列，因此面积可以写成极限式：，求此极限的结果即为“弓形”面积.

（1）联立可得：，所以，所以；

（2）设点的纵坐标为，由题意可知为抛物线的一条弦，是的中点，且两点纵坐标之差的绝对值为，

由已知的结论可知：，同理可知；

（3）如果将（2）中的结果看成是一次操作，将操作继续下去，取每段新的弦的中点做平行于轴的直线与抛物线得到交点，并与弦的端点连接，计算得到的新三角形面积，操作无限重复下去：

第一次操作：增加的面积为，面积为；

第二次操作：增加了个三角形，面积为；

第三次操作：增加了个三角形，面积为；……

由此可知每次新增加的面积构成一个公比为的等比数列，随着操作持续下去这些三角形逐渐填满整个“弓形”，

所以“弓形”面积为：.