Question

若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”。

（1）在无穷数列中，，，求数列的通项公式；

（2）在（1）的结论下，试判断数列是否为“等比源数列”，并证明你的结论；

（3）已知无穷数列为等差数列，且，（），求证：数列为“等比源数列”.

Answer

（1）；（2）不是，证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）由，可得出，则数列为等比数列，然后利用等比数列的通项公式可间接求出；

（2）假设数列为“等比源数列”，则此数列中存在三项成等比数列，可得出，展开后得出，然后利用数的奇偶性即可得出结论；

（3）设等差数列的公差为，假设存在三项使得，展开得出，从而可得知，当，时，原命题成立.

（1），得，即，且.

所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，

因此，；

（2）数列不是“等比源数列”，下面用反证法来证明.

假设数列是“等比源数列”，则存在三项、、，设.

由于数列为单调递增的正项数列，则，所以.

得，化简得，

等式两边同时除以得，

，且、、，则，，，，

则为偶数，为奇数，等式不成立.

因此，数列中不存在任何三项，按一定的顺序排列构成“等比源数列”；

（3）不妨设等差数列的公差.

当时，等差数列为非零常数列，此时，数列为“等比源数列”；

当时，，则且，数列中必有一项，

为了使得数列为“等比源数列”，只需数列中存在第项、第项使得，

且有，即，

，

当时，即当，时，

等式成立，

所以，数列中存在、、成等比数列，因此，等差数列是“等比源数列”.