Question

设椭圆：（）的右焦点为，短轴的一个端点到的距离等于焦距．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设、是四条直线，所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点，是椭圆上任意一点，若，求证：为定值；

（3）过点的直线与椭圆交于不同的两点、，且满足△与△的面积的比值为，求直线的方程．

Answer

（1）（2）证明见解析（3）

【解析】

（1）根据椭圆焦点坐标求得，根据短轴端点到焦点的距离求得，由此求得，进而求得椭圆的标准方程.

（2）求得的坐标，设出点坐标，结合向量的坐标运算，由求得，也即求得点坐标，将其代入椭圆，化简后证得为定值.

（3）将三角形和三角形的面积的比值，转化为边长的比值，即.当直线斜率不存在时，根据椭圆的对称性可知，不符合题意.当直线的斜率不存在时，设出直线的方程.代入椭圆方程，化简后写出韦达定理.由，求得，代入韦达定理，由此解方程求得的值，进而求得直线的方程.

（1）由已知，，

又，故，

所以，，所以，椭圆的标准方程为．

（2），，

设，则，

由已知，即，

所以 ，所以，化简得为定值．

（3）等价于，

当直线的斜率不存在时，，不合题意．

故直线的斜率存在，设：，

由消去，得，

设，，则①，②，

由，得，，将其代入①②，得③，④.将③代入④，化简得，解得．

所以，直线的方程为．