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设椭圆:()的右焦点为,短轴的一个端点到的距离等于焦距. (1)求椭圆的标准方程...

设椭圆)的右焦点为,短轴的一个端点的距离等于焦距.

1)求椭圆的标准方程;

2)设是四条直线所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点,是椭圆上任意一点,若,求证:为定值;

3)过点的直线与椭圆交于不同的两点,且满足△与△的面积的比值为,求直线的方程.

 

(1)(2)证明见解析(3) 【解析】 (1)根据椭圆焦点坐标求得,根据短轴端点到焦点的距离求得,由此求得,进而求得椭圆的标准方程. (2)求得的坐标,设出点坐标,结合向量的坐标运算,由求得,也即求得点坐标,将其代入椭圆,化简后证得为定值. (3)将三角形和三角形的面积的比值,转化为边长的比值,即.当直线斜率不存在时,根据椭圆的对称性可知,不符合题意.当直线的斜率不存在时,设出直线的方程.代入椭圆方程,化简后写出韦达定理.由,求得,代入韦达定理,由此解方程求得的值,进而求得直线的方程. (1)由已知,, 又,故, 所以,,所以,椭圆的标准方程为. (2),, 设,则, 由已知,即, 所以 ,所以,化简得为定值. (3)等价于, 当直线的斜率不存在时,,不合题意. 故直线的斜率存在,设:, 由消去,得, 设,,则①,②, 由,得,,将其代入①②,得③,④.将③代入④,化简得,解得. 所以,直线的方程为.
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