Question

已知函数.

（1）若，求的单调区间；

（2）若关于的方程有四个不同的解，求实数应满足的条件；

（3）在（2）条件下，若成等比数列，用表示t.

Answer

（1）在单调递增，在单调递减；（2）；（3）.

【解析】

（1）将代入，用分类讨论的去掉绝对值符号后结合函数单调性性质得解；

（2）用分类讨论的去掉绝对值符号得分段函数，然后用导数研究函数的单调性，求出满足条件的的关系；

（3）由韦达定理得两两互为倒数，结合等比数列性质及韦达定理可用表示出．

（1）时，，

易知在时，是增函数，是减函数，

所以的单调增区间，单调减区间是．

（2），

，

当时，

在是递增，在上递减，不合题意；

当时， 时，由得，在上单调递减，在是单调递增，

时，由得，在上单调递减，在是单调递增，

又，，

∴实数应满足的条件是．

（3），即或，

即或,

在中用代换得，即，

∴方程与方程的根互为倒数．

设这四个根从小到大依次为，则，

所以，

若成等比数列，则，，，．

∴，，

，

∴，

∴．