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设数列 的前项和为,对一切,点都在函数的图象上. (1)求,归纳数列的通项公式(...

设数列 的前项和为,对一切,点都在函数的图象上.

1)求,归纳数列的通项公式(不必证明);

2)将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为 ,分别计算各个括号内各数之和,设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为,求的值;

3)设为数列的前项积,若不等式对一切都成立,其中,求的取值范围.

 

(1),,;(2)2010;(3). 【解析】 (1)点坐标代入函数解析式,得,令依次可求得,归纳出通项公式; (2)依题意,每一次循环记为一组.由于每一个循环含有4个括号,故是第25组中第4个括号内各数之和.这样可求得(注意规律),而,因此结论易用得. (3)由,得,不等式对一切都成立, 就是对一切都成立, 设,则只需即可.用作商的方法说明是递减数列,从而问题易求解. (1)因为点在函数的图象上,故,所以. 令,得,所以;令,得,所以,,…… 由此猜想:. (2)因为,所以数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(2),(4,6),(8,10,12),(14,16,18,20);(22),(24,26),(28,30,32),(34,36,38,40);(42),…. 每一次循环记为一组.由于每一个循环含有4个括号,故是第25组中第4个括号内各数之和.由分组规律知,由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列,且公差为20. 同理,由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列,且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列,且公差为80. 注意到第一组中第4个括号内各数之和是68, 所以.又,所以. (3)因为,故,所以. 又,故对一切都成立, 就是对一切都成立, 设,则只需即可. 由于,所以,故是单调递减, 于是,解得.
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