Question

某同学在研究函数 f（x）=（x∈R） 时，分别给出下面几个结论：

①等式f（-x）=-f（x）在x∈R时恒成立；

②函数f（x）的值域为（-1，1）；

③若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）；

④方程f（x）=x在R上有三个根．

其中正确结论的序号有______．（请将你认为正确的结论的序号都填上）

Answer

①②③

【解析】

由奇偶性的定义判断①正确，由分类讨论结合反比例函数的单调性求解②；根据单调性，结合单调区间上的值域说明③正确；由只有一个根说明④错误．

对于①，任取，都有，∴①正确；

对于②，当时，，

根据函数的奇偶性知时，，

且时，，②正确；

对于③，则当时，，

由反比例函数的单调性以及复合函数知，在上是增函数，且；

再由的奇偶性知，在上也是增函数，且

时，一定有，③正确；

对于④，因为只有一个根，

∴方程在上有一个根，④错误．

正确结论的序号是①②③． 故答案为：①②③．